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高考数学全国Ⅰ卷点评与启示

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高考数学一结束,“高考数学”的话题就迅速登上热搜,大量网友和考生都表示今年的全国Ⅰ卷“难出天际”。“计算量巨大”、“反套路”、“反常规”成为了评论试卷的关键词。

首先可以明确指出的是,这次的全国Ⅰ卷并没有超纲的内容或超难的题目。或者说,它的难并不像一些人说的,非要用竞赛的方法才能解决。

也可能有人会说压轴的导数题有难度。但是,这可是一份高考卷的最后一道题,从解题方法上来说,本题涉及到导数解答题比较典型的指数含参讨论、同构关系和函数零点取点技巧,是常规考法。更何况,本身这就不是一道应该要给大多数人做出来的题目,相信大家在一份接一份卷子的训练中,比这道题难的比例要更多。

除此之外,我们还可以看到整份卷的题目设问都非常直接,没有多少题目是涉及大量背景知识的,唯二例外就是第4题的“水库题”和第20题的统计概率大题了。

这就是说,绝大部分的题目的提问都非常明确,考生理解题意上应该是比较清晰的,可以在审题后直接开始构建解题思路。

总而言之,把每一道题单拿出来,并没有出现特别离谱的,让考生不知所云,无从下手的题目。但舆论上依然是一个“难”字。何故?

我想,这是因为多数题目准备思路明确,但是解题过程都相对复杂,计算量极大,这也是考生叫苦连天的一个关键原因。

第7题的比大小涉及到二项展开的方法。第8题计算正四棱锥的体积也包含了外接球半径求法、余弦定理、基本三角形几何关系等知识,解题过程非常繁复,计算量自不用说。

又如第11题的抛物线题,虽然前两个选项是比较基本的准线和切线求法,但是后两个选项则要联立直线和抛物线,需要考生熟练使用弦长公式、韦达定理变形和向量法才能得出结论。熟练掌握方法是基础,关键是这种题目的计算量巨大,对于决心要拿下完整分数的考生来说非常耗时。

考法不常规是指考点的设置方式、考题的安排顺序,解题的思路方法并不常见等,也就是俗称的“反套路”。不知道出题人是不是走火入魔了,整份卷子似乎每道题都要加入一些“反套路”的元素,连本应照顾整体学生水平的,理应偏简单的题目都是如此,比如前三道大题。

17题的数列题,第1问一般会考利用Sn与an的关系求通项,或者通过证明等差、等比数列来求通项的方法,但是这次要先构建出一个关于Sn与an的等差数列,再结合错项的累乘法求解。虽然也不是很难,但这就不是常规的考法,会让考生停下来思考合适的解题方法,并且需要更留神随后的计算过程。

18题的解三角形,第1问还算常规,典型的三角恒等变换考法加上三角形内角和关系,甚至可以算是送分题。第2问则是典型的“不典型”了,一眼看上去是考边化角再利用正弦函数求范围的考点,但其实要先看出C和B互余的关系,再利用三角恒等变换化简式子,最后还要靠基本不等式才能算出答案。

第19题立体几何,第1问就考了“求点到面的距离”,这一般只会出现在立几题第2小问,而且条件还只给了体积和面积的信息,也不是常规的条件和考法。

第2问看似典型的建系求二面角题型,但实际做起来却发现没那么简单,需要先证明垂直关系和求出边长才可建系求点的坐标。当然了,如果第1问就卡壳,想在第2问强行建系求解,那是想都不用想。

中等水平的学生,在选填受虐过后,再看到原本应该稳稳装在兜里的前三道大题这么一搞,心态不好的多半就崩了……

上面提到的几题各有其创新的地方,虽然考法不常规。但其实,如果换做平常,给足时间深入思考和计算的情况下,很多中等水平的学生很可能还是能够完成这些题目的。但是要知道,这是高考考场,一锤子买卖,平常没有这个准备,考场上遭遇这么突如其来的变故,和考生自己的心理预期出现偏差,崩了也就崩了。

整张试卷没有哪一道是难度超高,让考生毫无思路的题目。只不过和往年相比,每一道题的考法都“反套路”一点,计算量都提高一点。

从第4题的冷门考点——棱台体积公式,到第8、第11题的超大计算量,再到第12题相对抽象的函数与导数关系,单是选填部分就已经让不少考生感到心烦意乱,因为很有可能花一个半小时也不能完成。

到了解答题部分,本想着赶紧从前三道大题抢回一些分数,结果又碰到反套路的前三题,思考很久也没有思路的同学因该直接就心态爆炸了。即使后面的圆锥曲线和导数并不算难,但是做到后面应该也没有多少时间,也没有好的心态去完成了。

综上,这是一份没有一道离谱到无从下手的题目,甚至压轴题也比日常偏简单,却最终让大多数学生都说难的试卷。尤其是当你把2022年的全国Ⅰ卷和2021年的全国Ⅰ卷摆在一起对比,你更会认为出题者是不是人格分裂。

要知道,从老师到同学,都是照着命题人曾经出过的题目来做足准备,然后你整这么一份卷子。怎么说呢,要“反套路”是可以理解的,但这就过于走火入魔了。

面对这个形势,有人嘴上说放弃数学,但大家心里也知道,这不现实。我们可以做的,是依据这个情况完善自己。所以,现在准高三、准高二和准高一的同学,或许可以从中得到一些启示。

第一,要重视函数和导数的内容。因为从卷面分析来看,函数和导数的分值占比非常大,不少题目都要用到求导判断单调性的方法来求解,可以预期明年高考的主角基本上也是函数和导数。

第二,要重视理解数学概念和数学原理,要明白公式定理的意义并且要能灵活运用,不能再一味地去套公式、练套路。建议明年的高考生多尝试证明书本上的公式定理,这样的训练既可以加强数学证明的能力,又可以加深对公式定理的理解,即使遇到反套路的题目,也能更好地选择合适的方法和公式定理求解。

第三,要提高考试心理素质。每年的高考试卷难度都会变化,也没有一定的规律可循。不能说遇到困难的试卷就方寸大乱,因为考试时的心理状态是直接影响到解题能力的,心态一崩,即使再简单的题目也会觉得无从下手。因此要学会调整考试的心态,即使面对不顺手的题目,也要做到临危不乱,沉着应对。

文章出自区老师团队中主要负责高中数学的龚老师之手,经区老师整理后成文。下面是区老师的一些话:

高考数学,虽然能做题,但毕竟不教高三,所以我就不班门弄斧了,交给我们团队的专业老师。

计算能力我和我的学生和家长都讲过。初中的计算题非常简单,只有压轴题中含参计算部分较为深入地考验计算能力,就这已经考倒了大多数同学,所以说实话我比较担心目前的初中生到高中之后的计算能力。

应变和心态,在这份试卷中体现得淋漓尽致。强如华附深中的学生,也对两小时内完成这份试卷感到相当吃力,更何况普通学生?拿到试卷后一直做下来,越做越虚是肯定的。

这时候,同学们一来应该要有“人难我难”的心态,二来应该及时调整节奏,去分辨有限的时间应该如何取舍。

另外,像去年广东中考卷(非广州卷)和今年这份全国Ⅰ卷,已经两次出现了超乎多数人预料的难度和题目设置。这对老师来说也是一个启示。我们的准备工作不能一成不变,要预料到所有可能发生的情况。

尤其是在最后两个月,除了广东(广州)本地的真题外,可能还要加入一些有代表性的外省真题,给学生做好充足的预案。

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